🔷 1. यूक्लिड का विभाजन प्रमेय (Euclid’s Division Lemma)

✅ कथन:

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए ऐसे पूर्णांक q (भागफल) और r (शेषफल) मौजूद होते हैं कि:$$a = bq + r$$

जहाँ$$0 \le r < b$$

📌 उपयोग:

• HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने में

---

🔷 2. यूक्लिड की विभाजन विधि (HCF निकालने के लिए)

✅ विधि:

1. पहले लिखें: $$a = bq + r$$
2. फिर b और r पर वही प्रक्रिया दोहराएँ।
3. जब शेषफल 0 हो जाए,
4. अंतिम शून्य से पहले वाला शेषफल ही HCF होगा।

---

🔷 3. अंकगणित का मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

✅ कथन:

हर संयुक्त संख्या (Composite Number) को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन एकमात्र (Unique) होता है।

उदाहरण:$$60 = 2^2 \times 3 \times 5$$

---

🔷 4. HCF और LCM का संबंध

$$\textbf{HCF} \times \textbf{LCM} = \textbf{दोनों संख्याओं का गुणनफल}$$$$HCF(a,b) \times LCM(a,b) = a \times b$$

---

🔷 5. परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार

यदि संख्या हो:$$\frac{p}{q}$$

और q का अभाज्य गुणनखंड रूप:$$q = 2^m \times 5^n$$

✅ स्थिति 1: समाप्त होने वाला दशमलव (Terminating Decimal)

यदि हर (denominator) में केवल 2 और/या 5 हों।

उदाहरण:$$\frac{7}{8} = 0.875$$

---

✅ स्थिति 2: असमाप्त आवर्ती दशमलव (Non-Terminating Repeating)

यदि हर में 2 या 5 के अलावा कोई और अभाज्य संख्या हो।

उदाहरण:$$\frac{1}{3} = 0.333…$$31​=0.333…

---

🔷 6. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

• जिन्हें $\frac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता
• दशमलव प्रसार असमाप्त और अनावर्ती होता है

उदाहरण:$$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$$

---

🔷 7. महत्वपूर्ण तथ्य

✔ सहाभाज्य (Co-prime) संख्याओं का HCF = 1
✔ दो क्रमागत संख्याओं का HCF = 1
✔ यदि किसी संख्या के अंत में 0 है तो वह 5 से विभाज्य है
✔ हर सम संख्या 2 से विभाज्य होती है

---

🎯 बोर्ड परीक्षा में पूछे जाने वाले मुख्य प्रश्न

1. यूक्लिड की विधि से HCF निकालिए।
2. सिद्ध कीजिए कि √5 अपरिमेय है।
3. अभाज्य गुणनखंडन से LCM निकालिए।
4. जाँच कीजिए कि दशमलव प्रसार समाप्त होगा या नहीं।
5. सत्यापित कीजिए: HCF × LCM = गुणनफल

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)

यह अध्याय बोर्ड परीक्षा के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। यहाँ सभी मुख्य सूत्र, प्रमेय और महत्वपूर्ण बिंदु सरल और परीक्षा-उपयोगी तरीके से दिए गए हैं।

---

🔷 1. बहुपद (Polynomial)

यदि$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

जहाँ

• $a_n, a_{n-1}, … , a_0$ स्थिरांक (constants) हैं
• $n$ एक अशून्य पूर्णांक है

तो इसे बहुपद कहते हैं।

---

🔷 2. बहुपद की घात (Degree)

बहुपद में $x$ की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री कहलाती है।

उदाहरण:$$3x^4 + 2x^2 + 7$$

की डिग्री = 4

---

🔷 3. शून्यक (Zeroes) क्या होते हैं?

यदि$$p(x) = 0$$

को संतुष्ट करने वाला x का मान शून्यक (Zero) कहलाता है।

---

🔷 4. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

रूप:$$ax + b$$

• डिग्री = 1
• केवल 1 शून्यक

---

🔷 5. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)

रूप:$$ax^2 + bx + c$$

• डिग्री = 2
• अधिकतम 2 शून्यक

---

🔷 6. त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial)

रूप:$$ax^3 + bx^2 + cx + d$$

• डिग्री = 3
• अधिकतम 3 शून्यक

---

🔷 7. शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

यदि बहुपद $p(x)$ को $x – a$ से भाग दिया जाए,
तो शेषफल = $p(a)$

---

🔷 8. गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

यदि $p(a) = 0$,
तो $x – a$, $p(x)$ का एक गुणनखंड होगा।

---

🔷 9. द्विघात बहुपद के शून्यकों का संबंध

के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं, तो:

यदि$$ax^2 + bx + c$$

🔹 शून्यकों का योग:

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

🔹 शून्यकों का गुणनफल:

$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

---

🔷 10. घन बहुपद (Cubic Polynomial) के शून्यकों का संबंध

यदि$$ax^3 + bx^2 + cx + d$$ शून्यक $\alpha, \beta, \gamma$ हैं, तो:

🔹 शून्यकों का योग:

$$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$$

🔹 युग्मों के गुणनफलों का योग:

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$$

🔹 शून्यकों का गुणनफल:

$$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$$

---

🔷 11. ग्राफ से शून्यक कैसे पहचानें?

• जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है, वही बिंदु शून्यक होते हैं।
• x-अक्ष को जितनी बार काटेगा, उतने शून्यक।

---

🎯 बोर्ड परीक्षा में महत्वपूर्ण प्रश्न

1. शेषफल प्रमेय से शेषफल ज्ञात कीजिए।
2. गुणनखंड प्रमेय से बहुपद का गुणनखंड कीजिए।
3. दिए गए शून्यकों से बहुपद बनाइए।
4. शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए।
5. ग्राफ से शून्यकों की संख्या बताइए।

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

(Linear Equations in Two Variables)

यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 6–7 अंक का आता है। यहाँ सभी मुख्य सूत्र, विधियाँ और परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु दिए गए हैं।

---

🔷 1. दो चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप

$$ax + by + c = 0$$

जहाँ

• $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं
• $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं हो सकते

---

🔷 2. दो रैखिक समीकरणों का युग्म

$$a_1x + b_1y + c_1 = 0$$$$a_2x + b_2y + c_2 = 0$$

---

🔷 3. रेखाओं की स्थिति (ग्राफ के आधार पर)

✅ (i) एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद

$$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$$

➡ एक अद्वितीय हल (Unique Solution)

---

✅ (ii) समांतर रेखाएँ

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$$

➡ कोई हल नहीं (No Solution)

---

✅ (iii) एक ही रेखा (संपाती रेखाएँ)

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

➡ असीमित हल (Infinite Solutions)

---

🔷 4. हल करने की विधियाँ

---

✅ (1) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

• एक समीकरण से एक चर का मान निकालें।
• उसे दूसरी समीकरण में रख दें।

---

✅ (2) विलोपन विधि (Elimination Method)

• किसी एक चर के गुणांक बराबर करें।
• जोड़ या घटाकर एक चर समाप्त करें।

---

✅ (3) आरेखीय विधि (Graphical Method)

• दोनों समीकरणों का ग्राफ बनाएं।
• जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं वही हल है।

---

✅ (4) क्रॉस गुणन विधि (Cross Multiplication Method)

$$\frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1}$$

---

🔷 5. शब्द समस्याएँ (Word Problems)

इस अध्याय में आमतौर पर प्रश्न आते हैं:

✔ आयु संबंधी प्रश्न
✔ धन/मूल्य संबंधी प्रश्न
✔ संख्या संबंधी प्रश्न
✔ दूरी-समय संबंधी प्रश्न

---

🎯 बोर्ड परीक्षा में पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न

1. प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
2. विलोपन विधि से हल कीजिए।
3. क्रॉस गुणन विधि से हल कीजिए।
4. जाँच कीजिए कि हल अद्वितीय है या नहीं।
5. शब्द समस्या बनाकर हल कीजिए।

---

⚡ परीक्षा के लिए विशेष सुझाव

• पहले समीकरणों को मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ में लाएँ।
• क्रॉस गुणन में चिन्ह (sign) का विशेष ध्यान रखें।
• ग्राफ में सही स्केल का उपयोग करें।

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 4

द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) – पूरा सूत्र संग्रह (Board Exam के लिए)

---

1️⃣ द्विघात समीकरण क्या है?

एक चर में द्विघात समीकरण का सामान्य रूप होता है:$$ax^2 + bx + c = 0$$

जहाँ —

• $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं
• $a \neq 0$
• $x$ चर है

---

2️⃣ मानक रूप (Standard Form)

$$ax^2 + bx + c = 0$$

👉 किसी भी प्रश्न को हल करने से पहले उसे इसी रूप में लिखें।

---

3️⃣ द्विघात सूत्र (सबसे महत्वपूर्ण)

यदि $ax^2 + bx + c = 0$, तो मूल होंगे:$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

✔ यह बोर्ड परीक्षा का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र है।

---

4️⃣ विवर्तक (Discriminant)

$$D = b^2 – 4ac$$

D का मान	मूलों का प्रकार
$D > 0$	दो भिन्न वास्तविक मूल
$D = 0$	दो समान वास्तविक मूल
$D < 0$	कोई वास्तविक मूल नहीं

---

5️⃣ समान मूल की शर्त

यदि मूल समान हों, तो:$$b^2 – 4ac = 0$$

---

6️⃣ मूलों का योग और गुणनफल

यदि मूल $\alpha$ और $\beta$ हों, तो:$$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}$$$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

---

7️⃣ मूल दिए हों तो समीकरण बनाना

यदि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं, तो समीकरण होगा:$$x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

---

8️⃣ वर्ग पूर्ण करने की विधि (Completing the Square Method)

मुख्य चरण:

1. यदि $x^2$ का गुणांक 1 नहीं है तो पूरी समीकरण को $a$ से भाग दें।
2. स्थिर पद को दाईं ओर ले जाएँ।
3. $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ जोड़ें और घटाएँ।
4. पूर्ण वर्ग बनाएँ।
5. वर्गमूल लें।

अंत में फिर वही सूत्र प्राप्त होता है:$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

---

9️⃣ विशेष रूप

यदि समीकरण है:$$x^2 + px + q = 0$$

तो मूल होंगे:$$x = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 – 4q}}{2}$$​​

---

🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण सुझाव

✔ हमेशा पहले मानक रूप में लिखें
✔ विवर्तक (D) अलग से निकालें
✔ मूलों का प्रकार अवश्य लिखें
✔ ± चिन्ह कभी न भूलें
✔ उत्तर को सरल रूप में लिखें

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 5

समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions – AP) – पूरा सूत्र संग्रह (Board Exam के लिए)

---

1️⃣ समांतर श्रेढ़ी (AP) क्या है?

ऐसी संख्या श्रेढ़ी जिसमें प्रत्येक पद अपने पिछले पद से एक निश्चित संख्या से बढ़ता या घटता है, उसे समांतर श्रेढ़ी (AP) कहते हैं।

उदाहरण:
2, 5, 8, 11, 14 …
यहाँ प्रत्येक पद में 3 जोड़ा जा रहा है।

---

2️⃣ मुख्य शब्दावली

• प्रथम पद (First Term) = $a$
• सामान अंतर (Common Difference) = $d$
• nवाँ पद (nth Term) = $a_n$​

---

3️⃣ nवाँ पद (nth Term) का सूत्र

$$a_n = a + (n – 1)d$$

✔ बोर्ड परीक्षा का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र।

---

4️⃣ समान अंतर (Common Difference)

$$d = a_n – a_{n-1}$$

या$$d = a_2 – a_1$$

---

5️⃣ अंतिम पद (Last Term)

यदि अंतिम पद $l$ हो, तो:$$l = a + (n – 1)d$$

---

6️⃣ पहले n पदों का योग (Sum of n Terms)

(i) सामान्य सूत्र:

$$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d]$$

(ii) यदि अंतिम पद दिया हो:

$$S_n = \frac{n}{2} (a + l)$$

---

7️⃣ महत्वपूर्ण संबंध

यदि तीन संख्याएँ AP में हों:$$2 \times \text{मध्य पद} = \text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}$$2×मध्य पद=प्रथम पद+अंतिम पद

---

8️⃣ विशेष प्रकार के प्रश्न

✔ nवाँ पद ज्ञात करना
✔ कितने पद होंगे?
✔ योग ज्ञात करना
✔ अंतिम पद ज्ञात करना
✔ शब्द समस्याएँ (Word Problems)

---

🎯 बोर्ड परीक्षा टिप्स

• पहले $a$, $d$, और $n$ पहचानें
• सही सूत्र चुनें
• प्रश्न ध्यान से पढ़ें (योग चाहिए या पद?)
• अंतिम उत्तर साफ और सरल रूप में लिखें

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 6

त्रिभुज (Triangles) – पूरा सूत्र संग्रह (Board Exam के लिए)

---

1️⃣ त्रिभुज की समानता (Similarity of Triangles)

🔹 समान त्रिभुज की शर्तें

1. AAA (कोण–कोण–कोण)
   यदि दो त्रिभुजों के सभी कोण बराबर हों, तो वे समान होते हैं।
2. SAS (भुजा–कोण–भुजा)
   यदि दो भुजाओं का अनुपात समान हो और उनके बीच का कोण बराबर हो।
3. SSS (भुजा–भुजा–भुजा)
   यदि तीनों भुजाओं का अनुपात समान हो।

---

2️⃣ समान त्रिभुजों के गुण

यदि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, तो:$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

और$$\frac{\text{क्षेत्रफल (ABC)}}{\text{क्षेत्रफल (DEF)}} = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2$$

---

3️⃣ मूल प्रमेय (Basic Proportionality Theorem – BPT)

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर रेखा शेष दो भुजाओं को काटती है, तो वे भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं।$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$

---

4️⃣ पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

समकोण त्रिभुज में:$$\text{(कर्ण)}^2 = \text{(आधार)}^2 + \text{(लंब)}^2$$$$c^2 = a^2 + b^2$$

---

5️⃣ पाइथागोरस का विलोम प्रमेय

यदि किसी त्रिभुज में:$$c^2 = a^2 + b^2$$

तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज होगा।

---

6️⃣ समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात

$$\frac{\text{क्षेत्रफल 1}}{\text{क्षेत्रफल 2}} = \left(\frac{\text{संबंधित भुजा 1}}{\text{संबंधित भुजा 2}}\right)^2$$

---

🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु

✔ समानता की शर्तें याद रखें (AAA, SAS, SSS)
✔ अनुपात सही क्रम में लिखें
✔ क्षेत्रफल में भुजाओं का वर्ग आता है
✔ प्रमेय लिखते समय पूरा कथन लिखें
✔ आकृति (Figure) अवश्य बनाएँ

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 7

अंकगणितीय ज्यामिति (Coordinate Geometry) – पूरा सूत्र संग्रह (Board Exam के लिए)

---

1️⃣ निर्देशांक तल (Coordinate Plane)

• x-अक्ष → क्षैतिज रेखा
• y-अक्ष → ऊर्ध्वाधर रेखा
• किसी बिंदु $P$P का निर्देशांक $(x, y)$

---

2️⃣ दो बिंदुओं के बीच दूरी (Distance Formula)

यदि बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ हैं, तो दूरी होगी:$$PQ = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

---

3️⃣ दो बिंदुओं के मध्य बिंदु का सूत्र (Midpoint Formula)

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

• M = मध्य बिंदु
• यह सूत्र सभी बोर्ड प्रश्नों में अक्सर आता है।

---

4️⃣ ढाल (Slope of a Line)

यदि रेखा $PQ$PQ से गुजरती है, तो ढाल होगी:$$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}, \quad x_2 \neq x_1$$m=x2​−x1​y2​−y1​​,x2​=x1​

---

5️⃣ रेखा का समीकरण (Equation of a Line)

(i) ढाल और बिंदु से:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

(ii) दो बिंदुओं से:

$$\frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1}, \quad x_1 \neq x_2$$

(iii) ढाल–छेद रूप (Slope–Intercept Form):

$$y = mx + c$$

• c = y-अक्ष पर छेद

---

6️⃣ विशेष स्थिति

• क्षैतिज रेखा: $y = y_1$
• लंबवत रेखा: $x = x_1$

---

7️⃣ क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

त्रिभुज $ABC$ जिनके बिंदु हैं $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ :$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \Big| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \Big|$$​

---

8️⃣ बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु

✔ सूत्रों को याद रखें: दूरी, मध्य बिंदु, ढाल, क्षेत्रफल
✔ आकृति बनाना हमेशा सहायक होता है
✔ लंबवत और क्षैतिज रेखाओं को पहचानें
✔ उत्तर सरल और स्पष्ट लिखें

📘 कक्षा 10 गणित – अध्याय 8

त्रिकोणमिति (Introduction to Trigonometry) – पूरा सूत्र संग्रह (Board Exam के लिए)

---

1️⃣ त्रिकोणमिति का परिचय

• त्रिकोणमिति समकोण त्रिभुज के कोण और भुजाओं के संबंध का अध्ययन है।
• समकोण त्रिभुज में एक कोण $90^\circ$90∘ होता है।

---

2️⃣ समकोण त्रिभुज के लिए मुख्य भुजाएँ

• विपरीत भुजा (Opposite side) – कोण θ के सामने
• सामने की भुजा (Adjacent side) – कोण θ के साथ
• कर्ण (Hypotenuse) – सबसे लंबी भुजा

---

3️⃣ मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)

यदि θ कोई कोन है:

अनुपात	सूत्र
$\sin \theta$	$\frac{\text{विपरीत}}{\text{कर्ण}}$
$\cos \theta$	$\frac{\text{समीपवर्ती}}{\text{कर्ण}}$
$\tan \theta$	$\frac{\text{विपरीत}}{\text{समीपवर्ती}}$
$\cot \theta$	$\frac{\text{समीपवर्ती}}{\text{विपरीत}}$
$\sec \theta$	$\frac{\text{कर्ण}}{\text{समीपवर्ती}}$
$\csc \theta$	$\frac{\text{कर्ण}}{\text{विपरीत}}$

---

4️⃣ महत्वपूर्ण पहचानें

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
2. $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
3. $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$
4. $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$

---

5️⃣ समकोण त्रिभुज में आधारभूत सूत्र

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$
• $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$
• $\csc \theta \cdot \sin \theta = 1$

---

6️⃣ कोण ज्ञात करने का तरीका

• $\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}$ का प्रयोग करें
• प्रश्न में विपरीत, समीपवर्ती और कर्ण के आधार पर अनुपात चुनें

---

7️⃣ बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण टिप्स

✔ हमेशा समकोण त्रिभुज का चित्र बनाएं
✔ अनुपात सही भुजाओं के लिए प्रयोग करें
✔ पहचानें कि कौन सा अनुपात प्रयोग करना है: sin, cos, tan
✔ उत्तर सरल और दशमलव में दें