1. संख्याओं का क्विक क्लासिफिकेशन (Quick Revision)
प्राकृत संख्या (N): गिनती की संख्याएँ। (उदा: 1, 2, 3, 4, …)
पूर्ण संख्या (W): 0 से शुरू होने वाली संख्याएँ। (उदा: 0, 1, 2, 3, …)
पूर्णांक (Z): सभी प्लस, माइनस और 0 वाली संख्याएँ। (उदा: -3, -2, 0, 1, 2, …)
परिमेय संख्या (Q): जिसे p/q के रूप में लिख सकें (q ≠ 0)। (उदा: 3/4, 5, -2, 22/7, 0)
अपरिमेय संख्या: जो p/q के रूप में न हो। (उदा: √2, √3, √5 और π (पाई))
वास्तविक संख्या (R): परिमेय + अपरिमेय का पूरा परिवार ।
2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem)
📌 मुख्य बात: हर एक भाज्य संख्या (Composite Number) को अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) के गुणनफल के रूप में unique तरीके से लिखा जा सकता है।
शॉर्टकट उदाहरण: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3¹ × 5¹
3. HCF और LCM का महा-सूत्र (VVIP Formula)
माना दो संख्याएँ a और b हैं, तो:
HCF (a, b) = कॉमन अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
LCM (a, b) = सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
👑 परीक्षा का सबसे हिट फॉर्मूला: > HCF × LCM = a × b > (पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM)
(दशमलव प्रसार और वीआईपी परीक्षा प्रश्न)
4. दशमलव प्रसार (Decimal Expansion) — ऑब्जेक्टिव हैक
बिना लंबा भाग दिए किसी परिमेय संख्या p/q का दशमलव रूप पहचानें:
शांत (Terminating): यदि हर ‘q’ का गुणनखंड 2ⁿ 5ᵐ के रूप का हो (हर में सिर्फ 2 या 5 या दोनों हों)।उदाहरण: 7/20 (20 = 2² × 5, इसलिए यह शांत है)।
अशांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating): यदि हर ‘q’ के गुणनखंड में 2 और 5 के अलावा कोई और संख्या आ जाए।उदाहरण: 11/30 (30 = 2 × 3 × 5, यहाँ 3 आ गया, इसलिए यह अशांत है)।
5. बोर्ड परीक्षा में बार-बार आने वाले उदाहरण (Exam Specials)
प्रश्न 1 (2 अंक): यदि HCF (306, 657) = 9 है, तो LCM ज्ञात करें।
हल: सूत्र से, LCM = (a × b) / HCFLCM = (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338 (उत्तर)
प्रश्न 2 (2 अंक): जांचें कि क्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकता है?
हल: 0 पर समाप्त होने के लिए गुणनखंड में 2 और 5 दोनों चाहिए। लेकिन 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ है। इसमें 5 नहीं है, अतः यह कभी भी 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।
प्रश्न 3 (3 अंक): सिद्ध करें कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
हल (शॉर्ट स्टेप्स): माना √3 = p/q (सह-अभाज्य)। दोनों तरफ वर्ग करने पर 3 = p²/q² => p² = 3q²। इससे p, 3 से कटता है। फिर p = 3c मानने पर q² = 3c² आता है, जिससे q भी 3 से कटता है। चूंकि p और q दोनों 3 से कट रहे हैं, यह हमारी सह-अभाज्य वाली बात का विरोध करता है। अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है।
6. रविन्द्र सर के “विजेता कैप्सूल” कॉन्सेप्ट्स (Top Secret Tricks)
ट्रिक A: अभाज्य संख्याओं की पहचान (Prime Number Hack)परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है कि निम्नलिखित में से कौन अभाज्य संख्या है?
याद रखने के लिए टॉप संख्याएँ जो परीक्षा में आती हैं: 31, 41, 43, 47, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97। (ये संख्याएँ किसी के पहाड़े में नहीं आतीं, इन्हें देखते ही अभाज्य पर टिक लगाएँ)।
सबसे छोटी संयुक्त (Bhajya) संख्या 4 है और सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।
ट्रिक B: परिमेय और अपरिमेय का जोड़-घटाव (VVIP Rule)नियम: एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़ या घटाव हमेशा एक अपरिमेय संख्या ही होता है।
उदाहरण: (5 + √3) या (2 – √5) आँख बंद करके अपरिमेय संख्या पर टिक लगाएँ।
ट्रिक C: शून्यकों की संख्या (Number of Zeroes)
नियम: किसी भी संख्या के अभाज्य गुणनखंड में शून्य (0) की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि उसमें 2 और 5 के कितने जोड़े (Pairs) बन रहे हैं।
उदाहरण: (2 का पावर 3) × (5 का पावर 2) × 3 में 2 और 5 के अधिकतम 2 जोड़े बन सकते हैं, इसलिए इस संख्या के अंत में केवल 2 शून्य होंगे।
📝 परीक्षा हॉल जाने से पहले का “क्विक टेस्ट” (Self-Check) (बच्चे इस पन्ने को पढ़ते ही खुद को परख सकते हैं)
क्या पाई (pi) एक अपरिमेय संख्या है? (हाँ, हमेशा!)
क्या 22/7 एक परिमेय संख्या है? (हाँ, क्योंकि यह p/q रूप में है)
रूट 4 (√4) परिमेय है या अपरिमेय? (परिमेय, क्योंकि इसका मान 2 होता है)
दो सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याओं का HCF क्या होगा? (हमेशा 1)